** Suite récurrente linéaire d'ordre 2

  Soit $\left(u_n\right)$  la suite définie par $u_0=0$ , $u_1=7$  et, pour tout $n\in \mathbb{N}$ , par $6u_{n+2}=2u_n-u_{n+1}$ .

1. Calculer $u_2$ .

2. Soit $\left(s_n\right)$  la suite définie pour tout entier naturel  $n$ par $s_n=3u_{n+1}+2u_n$ .
    a. Démontrer que la suite $\left(s_n\right)$  est géométrique de raison ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ . Préciser son premier terme.
    b. En déduire, pour tout entier naturel  $n$ , l'expression de $s_n$  en fonction de $n$ .

3. Pour tout entier naturel  $n$ , on pose $v_n=u_n-2u_{n+1}$ .
    a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$  est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
    b. En déduire, pour tout entier naturel  $n$ , l'expression de $v_n$  en fonction de $n$ .

4. Déduire des questions 2.b. et 3.b. que, pour tout entier naturel $n$ , $$ $u_n=6{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n-6{\left({\displaystyle \frac{-2}{3}}\right)}^n$ .

5. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ .